Mathematik an ETH und Universität: Wie KI das
Beweisenlernen verändern kann
Drei kleine Beweisaufgaben, ein sokratischer KI-Tutor und eine überraschende Erkenntnis:
Wer KI im Mathematikstudium richtig einsetzt, kann mathematische Probleme zunehmend selbstständiger lösen.
Von Marcel Liechti | Frag die KI – aber denk selbst | Blogartikel 4
Viele Studierende erleben beim Übergang von der Schule zur Hochschule eine
Überraschung. An der ETH Zürich oder an einer Universität genügt es nicht mehr, eine
Rechnung korrekt auszuführen. Plötzlich muss man Aussagen beweisen, Gegenbeispiele
finden und die logische Struktur eines Arguments durchschauen. Das ist eine andere Art von
Mathematik. Sie verlangt Geduld, Genauigkeit und vor allem eigenes Denken.
Gerade hier könnte künstliche Intelligenz eine wertvolle Rolle übernehmen – allerdings
nicht als Maschine, die fertige Beweise ausspuckt. Interessant wird sie erst, wenn sie sich
wie ein guter Tutor verhält: Sie stellt die nächste passende Frage, erkennt Denkfehler, gibt
bei Bedarf einen kleinen Hinweis und zieht sich zurück, sobald der Student selbst
weiterkommt.
Ein Student, drei Aufgaben – und ein Tutor, der nicht vorsagt
Begleiten wir Lukas, einen fiktiven Studenten im ersten Semester. Die folgenden Dialoge
sind didaktisch konstruierte Beispiele; sie zeigen ein mögliches Tutorverhalten, keine
protokollierte Untersuchung. Die Aufgaben sind bewusst elementar gewählt. Ihre
Schwierigkeit liegt weniger im Rechnen als im Beweisen.
1. Aufgabe: Eine Aussage durch Kontraposition beweisen
Behauptung: Ist für eine ganze Zahl n das Quadrat n² gerade, so ist auch n gerade.
Student: Ich weiss, dass die Behauptung stimmt. Aber wie soll ich beginnen?
KI-Tutor: Welche Aussage wäre leichter zu untersuchen: die Behauptung selbst oder
ihre Kontraposition?
Student: Die Kontraposition lautet: Wenn n ungerade ist, dann ist n² ungerade.
KI-Tutor: Gut. Wie lässt sich eine beliebige ungerade ganze Zahl darstellen?
Student: Als n = 2k + 1 mit einer ganzen Zahl k. Dann ist n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 =
2(2k² + 2k) + 1. Das ist ungerade.
KI-Tutor: Was folgt daraus für die ursprüngliche Behauptung?
Student: Sie ist bewiesen, weil eine Aussage und ihre Kontraposition logisch
gleichwertig sind.
Der Tutor hat keinen Beweis geliefert. Er hat die entscheidende Idee zugänglich gemacht:
Eine Aussage über gerade Zahlen lässt sich häufig leichter über ihre ungerade Gegenklasse
untersuchen. Der Student hat den Rechenweg und die Begründung selbst ausgeführt.
2. Aufgabe: Ein Gegenbeispiel ist manchmal besser als ein Beweis
Behauptung: Ist für eine ganze Zahl x der Ausdruck x² + x gerade, so ist x gerade.
Student: Ich versuche wieder die Kontraposition: Wenn x ungerade ist, muss x² + x
ungerade sein.
KI-Tutor: Prüfe deine Vermutung für x = 2k + 1.
Student: Dann ergibt sich x² + x = (2k + 1)² + (2k + 1) = 4k² + 6k + 2 = 2(2k² + 3k + 1). Das
ist gerade!
KI-Tutor: Was bedeutet das für die Behauptung?
Student: Sie kann nicht stimmen. Sogar bei ungeradem x wird der Ausdruck gerade.
KI-Tutor: Hättest du das einfacher haben können?
Student: Ja! Ich hätte sofort x = 1 einsetzen können: 1² + 1 = 2. Ein einziges Gegenbeispiel
widerlegt die Aussage.
KI-Tutor: Kannst du jetzt sogar erklären, warum x² + x für jede ganze Zahl gerade ist?
Student: Weil x² + x = x(x + 1) ist. Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen enthalten
immer eine gerade Zahl.
Diese Aufgabe enthält einen besonders wertvollen Lernmoment. Lukas merkt, dass man
eine falsche Aussage nicht beweisen kann. Er entdeckt den Unterschied zwischen Beweis
und Widerlegung – und lernt, zuerst die Behauptung kritisch zu prüfen, statt blind ein
Beweisverfahren anzuwenden. Genau das entspricht dem Rückblick in George Pólyas
Problemlösemethode: Hätte es einen kürzeren, klügeren Weg gegeben?
3. Aufgabe: Der Student übernimmt
Behauptung: Sind a und b ganze Zahlen und ist ab gerade, so ist mindestens eine der Zahlen
a oder b gerade.
KI-Tutor: Welches Verfahren würdest du diesmal wählen?
Student: Kontraposition. Wenn weder a noch b gerade ist, sind beide ungerade. Ich setze
a = 2m + 1 und b = 2n + 1.
Student: Dann ist ab = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1. Also ist
ab ungerade. Damit ist die Kontraposition bewiesen und somit auch die ursprüngliche
Behauptung.
KI-Tutor: Ist dein Schluss vollständig begründet?
Student: Ja. m und n sind ganze Zahlen; daher ist auch 2mn + m + n ganzzahlig. Das
Produkt hat somit die Form 2q + 1.
Auffällig ist nicht nur, dass Lukas den dritten Beweis schafft. Entscheidend ist, wie sich die
Rollen verändert haben: Beim ersten Beweis brauchte er mehrere Leitfragen. Beim zweiten
erkannte er durch einen Fehler eine neue Strategie. Beim dritten wählte er das Verfahren
und führte den Beweis nahezu selbstständig aus.
Die Fragen des KI-Tutors werden weniger, während die Eigenleistung des Studenten
zunimmt.
Das ist der Kern des sokratischen KI-Lernens: Hilfe ist kein Selbstzweck. Sie soll sich im
richtigen Moment verringern. Der Lernerfolg zeigt sich nicht daran, wie überzeugend die KI
antwortet, sondern daran, was der Student am Ende ohne KI leisten kann.
Die Zone der freundlichen Überforderung
Ein guter Tutor muss zwei gegensätzliche Fehler vermeiden. Ist eine Aufgabe viel zu schwer,
entsteht Frust. Ist sie dauerhaft zu leicht, entsteht Langeweile. Dazwischen liegt ein Bereich,
in dem ein Student gefordert wird und trotzdem Aussicht auf Erfolg hat. Der KI-Tutor kann
diesen Bereich durch abgestufte Hinweise und neue Aufgaben ansteuern.
Wichtig ist dabei die Richtung: Wird eine Aufgabe zu schwer, hilft der Tutor zunächst mit
einer Frage oder einem kleinen Hinweis. Wird sie zu leicht, erhöht er die Anforderungen. Er
Ein sokratischer KI-Tutor für Mathematik löst die Aufgabe nicht einfach anstelle des Lernenden, sondern unterstützt dabei, mathematische Beweise selbstständig zu lernen und die eigene Beweisführung Schritt für Schritt zu verbessern.
Abbildung 1. Die «Zone der freundlichen Überforderung»: schematische Darstellung einer adaptiven
Aufgabensteuerung. Der Schwierigkeitsgrad steigt mit dem Können; Hinweise und neue Herausforderungen halten
den Lernprozess in Bewegung.
Vier Lernwege – ein gemeinsames Ziel
Nicht alle Studierenden benötigen dieselbe Zeit und dieselben Hilfen. Eine Studentin
versteht die Kontraposition nach einem einzigen Beispiel. Ein anderer braucht drei ähnliche
Aufgaben. Ein dritter macht lange kaum Fortschritte, bis er den Zusammenhang zwischen
Parität, Gegenbeispiel und logischer Folgerung plötzlich durchschaut. Ein personalisierter
KI-Tutor könnte diese unterschiedlichen Lernwege berücksichtigen, ohne das gemeinsame
Lernziel aufzugeben.
Die folgende Grafik illustriert vier mögliche Verläufe. Sie ist ausdrücklich eine didaktische
Skizze, keine Auswertung realer Lernender. Die entscheidende Idee ist: Nicht alle müssen
denselben Weg oder dieselbe Zeit benötigen; am Ende zählt die nachweisbare Kompetenz.
Abbildung 2. Vier schematische Lernverläufe bei einem gemeinsamen Kompetenzziel. Individuelle Fortschritte können
unterschiedlich schnell und unterschiedlich gleichmässig verlaufen.
Was genau soll der Student am Ende können?
Damit adaptives Lernen mehr ist als eine Folge interessanter Gespräche, muss das Ziel
vorher feststehen. Für diese kleine Unterrichtseinheit könnte es lauten: Der Student erkennt
die logische Struktur einfacher Aussagen über ganze Zahlen, entscheidet begründet
zwischen direktem Beweis, Kontraposition und Gegenbeispiel, führt die Argumentation
korrekt aus und kann seine Kenntnisse auf neue Aufgaben übertragen.
Ein Tutor kann den Lernfortschritt während der Übungen einschätzen: Braucht der Student
noch Hinweise? Erkennt er falsche Aussagen? Kann er einen Beweis ohne vorgegebenes
Verfahren beginnen? Solche Beobachtungen ergeben zunächst ein vorläufiges Lernprofil. Sie
ersetzen jedoch keinen unabhängigen Leistungsnachweis.
Ein kurzer Abschlusstest – ohne KI und ohne Hilfen
Ein möglicher Abschlusstest dauert 30 bis 40 Minuten und umfasst fünf Aufgaben. Die
Punkteverteilung ist ein didaktischer Vorschlag, keine wissenschaftlich validierte Messskala.
1. (2 Punkte) Zeige: Ist n gerade, so ist n² gerade.
2. (3 Punkte) Prüfe die Aussage: Ist n² + 1 gerade, so ist n gerade. Beweise oder widerlege sie.
3. (4 Punkte) Zeige: Ist a² + b² ungerade, so ist genau eine der ganzen Zahlen a und b
ungerade.
4. (5 Punkte) Zeige: Ist n² durch 3 teilbar, so ist n durch 3 teilbar.
5. (6 Punkte) Zeige: Ist a² + b² durch 4 teilbar, so sind a und b beide gerade.
Als vorläufige Bestehensregel könnte man mindestens 16 von 20 Punkten verlangen,
darunter mindestens 7 der 11 Punkte aus den anspruchsvolleren Aufgaben 4 und 5. Diese
Schwelle müsste in der Praxis erprobt und gegebenenfalls angepasst werden. Noch
aussagekräftiger wäre eine weitere Transferaufgabe einige Wochen später: Bleibt die
Kompetenz erhalten?
Erst wenn Lukas solche Aufgaben eigenständig bewältigt, dürfen wir von einem erreichten
Lernziel sprechen. Dass er im Dialog mit einer KI erfolgreich war, reicht dafür allein nicht
aus.
Warum gerade die Mathematik?
Mathematik besitzt einen grossen Vorzug für diese Form des Lernens: Viele Lösungen lassen
sich nicht nur plausibel erklären, sondern logisch prüfen. Ein Gegenbeispiel widerlegt eine
allgemeine Aussage. Ein sauberer Beweis muss jeden entscheidenden Schritt rechtfertigen.
Deshalb eignet sich die Mathematik besonders gut als Trainingsfeld für selbstständiges,
kritisches Denken.
Allerdings ist auch ein Sprachmodell nicht unfehlbar. Es kann einen fehlerhaften Beweis
überzeugend formulieren oder einen richtigen Ansatz falsch beurteilen. Gerade deshalb
gehört zur Methode, dass der Student Ergebnisse überprüft, alternative Beweiswege
verlangt und die Argumentation schliesslich ohne Hilfe reproduziert. Bei anspruchsvolleren
Aufgaben können formale Werkzeuge und fachliche Kontrolle hinzukommen.
Der eigentliche Fortschritt besteht also nicht darin, dass ein Computer nun auch Beweise
schreiben kann. Entscheidend wäre, dass ein Student mit dieser Unterstützung besser lernt,
selbst Beweise zu entwickeln.
Ein Blick in das neue Mathematikbuch
In meinem für Dezember 2026 geplanten Buch «Einstieg in die höhere Mathematik»
(Birkhäuser) nehmen Beweisaufgaben einen breiten Raum ein. Rund 100 Seiten sind dem
Einüben mathematischer Beweise gewidmet. Sie bieten eine gute Grundlage, um die
Möglichkeiten eines sokratischen KI-Tutors an echten mathematischen Aufgaben
systematisch zu erproben.
Abbildung 3. Buchcover: Marcel Liechti, «Einstieg in die höhere Mathematik», Birkhäuser (geplante Veröffentlichung
Dezember 2026).
Für Hochschuldozierende eröffnet sich hier eine interessante Perspektive. Der Unterricht
kann die zentralen Ideen, die mathematische Sprache und anspruchsvolle Diskussionen
vermitteln. Zwischen den Veranstaltungen üben Studierende mit einem geduldigen Tutor,
der ihre Fehler ernst nimmt, Hilfen dosiert und das selbstständige Arbeiten fördert. Das
ersetzt weder gute Lehre noch fachliche Betreuung. Es könnte aber die individuelle
Übungszeit deutlich sinnvoller gestalten.
Nicht die Antwort zählt – sondern das Denken danach
Lukas hat drei kleine Aufgaben bearbeitet. Er hat eine Kontraposition entdeckt, eine falsche
Behauptung widerlegt und einen dritten Beweis fast ohne Hilfe geführt. Das ist noch keine
wissenschaftliche Studie über die Wirksamkeit von KI. Es zeigt aber sehr konkret, wie man
KI im Mathematikstudium einsetzen könnte, ohne das Denken an die Maschine abzugeben.
Die entscheidende Frage lautet deshalb nicht: «Kann ChatGPT diesen Beweis lösen?»
Sondern: «Kann ich nach dem Gespräch mit der KI einen ähnlichen oder schwierigeren
Beweis selbst führen?» Wer diese Frage ernst nimmt, macht aus einem Antwortautomaten
einen möglichen Lernpartner.
Frag die KI – aber denk selbst.
Redaktioneller Hinweis: Die drei Dialoge und Lernkurven sind illustrative Beispiele. Sie
dokumentieren keine empirische Wirksamkeitsstudie. Vor Veröffentlichung Erscheinungstermin und
bibliografische Angaben des Buches nochmals bestätigen.#
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